七年级下册 · 第十章二元一次方程组

*10.4 三元一次方程组的解法

选学内容（教材标“*”，不作考试要求）。未知数变成三个，办法还是消元：三元 → 二元 → 一元。关键只有一条：两次消元，要消同一个未知数，三个方程都要用上。

本节导读（选学）　先修：10.2 消元 · 本节路线

本节是选学：后面的章节不会把它当作已学过的工具。要用到：代入法、加减法（回看 10.2）；方程组和它的解（回看 10.1）。

从三张购物小票进入：三个未知数、三句话。
三元一次方程组的概念；解是三个数。
解法思路：三元 → 二元 → 一元，再逐个回代。
三个方程都含三个未知数时：两次消去同一个未知数。
有一个方程缺元时：只从另两个方程里消去它缺的那个。
练习，回看“哪一步最容易错”。

文具店的三张小票：铅笔和橡皮共 \(3\) 元，橡皮和尺子共 \(5\) 元，铅笔和尺子共 \(6\) 元（每样都是一件）。点下面几步，把小票合起来看：

铅笔、橡皮、尺子各买一件，一共多少元？

B。三张小票把每样都算了两次，14元要除以2，得到7元。

详细解释

B。三张小票合起来，每样文具都出现了两次：\(3+5+6=14\) 元是“每样两件”的钱，所以每样一件是 \(7\) 元。选 A 是忘了每样数了两遍。再往下：尺子 \(=7-3=4\) 元，铅笔 \(=7-5=2\) 元，橡皮 \(=7-6=1\) 元。

设铅笔 \(x\) 元、橡皮 \(y\) 元、尺子 \(z\) 元：\(\begin{cases}x+y=3\\y+z=5\\x+z=6\end{cases}\)。三个未知数、三个方程。这一节要回答：一般的三元一次方程组怎么有计划地消元？

1. 先认识几个词：三元一次方程组

前置知识：代入法和加减法（回看 10.2）。和二元一次方程组类比着认：

直觉微图解 ①三元 → 二元 → 一元 → 回代

三元一次方程组：含有三个未知数，含未知数的式子都是整式，含未知数的项的次数都是 \(1\)，由三个方程组成的方程组。（方程组一共含三个未知数，其中某个方程可以只含两个。）
三元一次方程组的解：同时满足三个方程的三个数，写成 \(\begin{cases}x=2\\y=3\\z=4\end{cases}\)，缺一行就是没做完。
解法思路：用代入或加减消去一个未知数，化成二元一次方程组；再消一个，化成一元一次方程；求出后逐个回代。

核心概念 ②二元 vs 三元

二元：两个方程，消一次元就到一元。三元：三个方程，要先消一次元得到两个二元方程（配成二元一次方程组），再消一次。思路一样，只是多了一层。

核心概念 ③先消哪个？

看系数：某个方程本来就缺一个未知数，或者某个未知数的系数是 \(\pm1\)、相等、互为相反数，就先消它。先消哪个，最后的解都一样。

2. 核心点：三个方程都含三个未知数时，两次消同一个

这时要用两对不同的方程，分别消去同一个未知数，得到两个只含另外两个未知数的新方程，配成二元一次方程组。两对方程合起来，三个原方程都要用上。

\(\color{#2F7A56}{\underbrace{\textcircled{1}\ \textcircled{2}\ \text{消}\ y}_{\text{得}\ \textcircled{4}}}\ +\ \color{#966524}{\underbrace{\textcircled{1}\ \textcircled{3}\ \text{消}\ y}_{\text{得}\ \textcircled{5}}}\ \Rightarrow\ \color{#B5452F}{\underbrace{\begin{cases}\textcircled{4}\\\textcircled{5}\end{cases}}_{\text{只含}\ x,\ z}}\)

直觉微图解 ②两个新方程能不能配成二元一次方程组？

试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。

例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）

解方程组 \(\begin{cases}x+y+z=6\ \textcircled{1}\\2x+y-z=1\ \textcircled{2}\\x-y+2z=5\ \textcircled{3}\end{cases}\)。

① 读懂题意：三个方程都含 \(x\)、\(y\)、\(z\)。哪个未知数的系数最“整齐”？

提示 1：先消 y

\(y\) 的系数是 \(1,\ 1,\ -1\)：① 和 ② 相减、① 和 ③ 相加都能消去 \(y\)。

提示 2：写下计划

“\(\textcircled{1}-\textcircled{2}\) 消去 \(y\) 得 ④，\(\textcircled{1}+\textcircled{3}\) 消去 \(y\) 得 ⑤，④⑤ 组成二元一次方程组”。

看完整示范

② 想办法：\(\textcircled{1}-\textcircled{2}\)：\(-x+2z=5\) ④；\(\textcircled{1}+\textcircled{3}\)：\(2x+3z=11\) ⑤。两次消的都是 \(y\)，三个方程都用上了。

③ 执行：\(\textcircled{4}\times2+\textcircled{5}\)：\(7z=21\)，\(z=3\)；代入 ④：\(-x+6=5\)，\(x=1\)；代入 ①：\(1+y+3=6\)，\(y=2\)。所以 \(\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}\)。

执行中检查：\(\textcircled{1}-\textcircled{2}\) 时 \(z-(-z)=2z\)，右边 \(6-1=5\)。最后代回三个原方程：\(6\) ✓，\(2+2-3=1\) ✓，\(1-2+6=5\) ✓。

④ 回头看：先消 \(z\) 也行（\(\textcircled{1}+\textcircled{2}\)、\(\textcircled{2}\times2+\textcircled{3}\)），解一样。关键是两次消同一个元。

自己试试：解一个三元一次方程组，已经用 ① ② 消去 \(y\) 得到 ④。下一步应该怎么做？

B。第二次必须用上 ③，并且消的也是 \(y\)，两个新方程才都只含 \(x\)、\(z\)。A 没用上 ③，得不到新信息；C 消的元不同，配不成二元一次方程组；D：④ 里还有两个未知数，单独解不出来。

3. 核心点：有一个方程缺元时，只消它缺的那个

如果某个原方程本来就只含两个未知数（比如缺 \(y\)），那它已经是“二元”了：保留它，只需从另外两个方程中消去它缺的 \(y\)，得到一个新方程，和它配成二元一次方程组。这时只要消元一次。

直觉微图解 ③缺元的方程现成就是“二元”，只再造一个

例 2（示范）

解方程组 \(\begin{cases}2x+z=8\ \textcircled{1}\\x+y+z=4\ \textcircled{2}\\3x-2y+z=13\ \textcircled{3}\end{cases}\)。

提示：① 缺哪个

① 没有 \(y\)。从 ② ③ 消去 \(y\)：\(y\) 的系数是 \(1\) 和 \(-2\)，② 乘 \(2\) 再加 ③。

看完整示范

想办法：\(\textcircled{2}\times2+\textcircled{3}\)：\(5x+3z=21\) ④。① 和 ④ 都只含 \(x\)、\(z\)，组成 \(\begin{cases}2x+z=8\\5x+3z=21\end{cases}\)。

执行：\(\textcircled{1}\times3-\textcircled{4}\)：\(x=3\)；代入 ①：\(z=2\)；代入 ②：\(3+y+2=4\)，\(y=-1\)。所以 \(\begin{cases}x=3\\y=-1\\z=2\end{cases}\)。

检查：代回 ③：\(9+2+2=13\) ✓；①：\(6+2=8\) ✓；②：\(3-1+2=4\) ✓。

回头看：这里不需要“两个新方程”，原来的 ① 就顶了一个。三个原方程仍然都用上了。

自己试试：解 \(\begin{cases}x+y-z=2\ \textcircled{1}\\2x-y+z=7\ \textcircled{2}\\x+2y=5\ \textcircled{3}\end{cases}\)，先做哪一步最省事？

A。③ 缺 \(z\)，就从 ① ② 消去 \(z\)：\(\textcircled{1}+\textcircled{2}\) 得 \(3x=9\)——连 \(y\) 也一起消掉了，直接 \(x=3\)。代入 ③：\(y=1\)；代入 ①：\(z=2\)。C 也能做，但要多算一步；B 消的是 \(x\)，和 ③ 配不上。

再试一个：\(\begin{cases}x+y=5\\y+z=9\\z+x=8\end{cases}\)，\(z\) 等于多少？

A。三式相加：\(2(x+y+z)=22\)，\(x+y+z=11\)；\(z=11-(x+y)=11-5=6\)。同理 \(x=2\)、\(y=3\)。C 是答成了 \(x+y+z\)。

4. 用之前必查：三大翻车现场

翻车现场 ①（最高频！）两次消去的不是同一个未知数

❌ 典型错解：例 1 里 \(\textcircled{1}+\textcircled{2}\) 消去 \(z\) 得 \(3x+2y=7\)，\(\textcircled{1}-\textcircled{3}\) 消去 \(x\) 得 \(2y-z=1\)，然后想解这两个。

✅ 看图秒懂：一个含 \(x\)、\(y\)，一个含 \(y\)、\(z\)，合起来还是三个未知数，配不成二元一次方程组。两次要消同一个。

翻车现场 ②同一对方程用了两次

❌ 典型错解：\(\textcircled{1}+\textcircled{2}\) 得 ④，\(\textcircled{1}-\textcircled{2}\) 得 ⑤，再解 ④⑤。

✅ 一眼看清：④⑤ 都只来自 ① ②，③ 的信息没用上；而且两次消的元往往也不一样。第二次必须用到第三个方程。

翻车现场 ③只求出两个就停了

❌ 典型错解：解出 \(x=1\)、\(z=3\) 就写答。

✅ 一眼看清：解是三个数，用三行大括号写；缺一行就要回代原方程把它求出来，再把三个值代回三个原方程检验。

① 三式相加：x + y、y + z、z + x 都已知

拖动三个和 \(a\)、\(b\)、\(c\)（或点一下圆点再用方向键）。三式相加，每个未知数都出现两次。

② 缺元的方程找搭档

例 2 的方程组：① \(2x+z=8\) 缺 \(y\)。拖动乘数 \(k\)，看 \(\textcircled{2}\times k+\textcircled{3}\) 消掉了谁；只有消掉 \(y\)，新方程才能和 ① 配对。

③ 进阶：自己定消元计划

例 1 的方程组。上一行是 \(\textcircled{1}+k\cdot\textcircled{2}\)，下一行是 \(\textcircled{1}+m\cdot\textcircled{3}\)。拖动 \(k\)、\(m\)，让两行消掉同一个未知数。消 \(x\)、消 \(y\)、消 \(z\) 三种计划都找得到。

④ 选学：我自己完整求解，再换顺序

先选一道题，再决定先消去哪个未知数。每完成一段，再做下一段。这是选学。

怎么输入？

数字只用半角有符号整数、有限小数（至多6位）或整数分数（正分母）；整数部分或分子、分母至多6位。小数须写整数部分，首尾与分数线两侧可留空格，数字中不能夹空格，也不用多余前导0。不输入算式、指数、单位、上标或全角数符。关系倍数用−4到4的整数，继续消元倍数用−12到12的整数。

自己选题

本题已核数学步骤的草稿

同一道题换一个先消的未知数，可以另存一份草稿，每题最多三份。再次核对同一个先消的未知数时，会更新对应草稿；只编辑而不核对，旧稿不会变。草稿只在本页保留。

比较说明以点击记录时的文字保存，切回本题可回看；未保存的编辑不改旧比较，刷新或清空会清除。

这里的练习不需要在线提交，也不计入学习记录，刷新会清空。文化阅读和这份工作单可以分别选做。

⑤ 可跳过的文化阅读：方程术、共井与百鸡类型

《九章算术》“方程”章用算筹按列记数，以整列倍减逐步消去，再逐个求数，可与本节加减消元联系阅读。刘徽在3世纪为《九章》作注，重视解释计算依据；唐代李淳风等又整理、说明这些注释。这里阅读“直除”的消元思想，不把古代记法或更多未知数列为训练要求。

“五家共井”把各家绳长与同一井深联系起来，井深也是需要考虑的量；“百鸡”类型把总只数与总费用联系起来，《张丘建算经》保存了著名例子。条件的作用与物品的整数、正负等限制要一起看，不能只数方程就断言有无穷多整数答案。

自编仿古共绳模型（非古籍原题、非原题数据）：以同一单位记两种绳长a、b及井深d，设a+b=d、2a+b=d+2，长度为正。由两式之差知a=2，但(2,1,3)与(2,3,5)都合条件，尚不能唯一确定；若另外量得d=5，就能得b=3。这只是说明还缺信息，不是本工作单的唯一解正式题。

自编仿古购禽模型（非“百鸡”原题或原价）：三类禽每只分别3、2、1枚钱，共买6只花10枚，数量a、b、c为非负整数。关系是a+b+c=6、3a+2b+c=10，整理得2a+b=4。逐个试a，可列(0,4,2)、(1,2,3)、(2,0,4)三组；再大的a会使b为负。若另要求三类都买，便只剩(1,2,3)。可见现实限制会缩小候选，不能把阅读里的“不定”混成对所有方程组的解数判定。

离线来源线索（标题与可复制纯文本URL；核对2026-10-31，无需点击）：圣安德鲁斯大学MacTutor，Nine Chapters on the Mathematical Art 与 Liu Hui：https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Nine_chapters/；https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Liu_Hui/。同档Zhang Qiujian（页面标2003年更新）：https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Zhang_Qiujian/。五家共井题型参照香港理工大学AMA1007课程资料，2018/2019第1学期第3题释述：https://www.polyu.edu.hk/ama/profile/hwlee/AMA1007/AMA1007Finals-2018-2019-Sem1.pdf。上面两个小模型均为本页自编，不是这些资料的引文。

从易到难排好了。卡住时先展开提示。

直接用

1. 下面哪一个是三元一次方程组？

B。A 有 2 次项 \(xz\)；C 一共有 \(x,y,z,w\) 四个未知数；D 有 \(x^2\)。B 里每个方程只含两个未知数也没关系，整个方程组含三个。

2. 方程组 \(\begin{cases}x+y+z=13\\y=x+1\\z=2x\end{cases}\) 的解是哪一个？

A。把后两个代入第一个：\(x+(x+1)+2x=13\)，\(4x=12\)，\(x=3\)，\(y=4\)，\(z=6\)。B 不满足 \(y=x+1\)；C、D 的和不是 \(13\)。

易错

3. 小明解方程组 ①②③：\(\textcircled{1}+\textcircled{2}\) 得 ④，\(\textcircled{1}-\textcircled{2}\) 得 ⑤，再解 ④⑤ 组成的方程组。问题出在哪里？

提示

④⑤ 是从哪几个方程来的？③ 去哪了？

B。三个方程的信息缺一不可。④⑤ 只是把 ① ② 换了个写法，就算解出来，也不一定满足 ③。

4. 解 \(\begin{cases}x+y+z=2\ \textcircled{1}\\x-y+2z=1\ \textcircled{2}\\2x+2y-z=7\ \textcircled{3}\end{cases}\)，已经由 \(\textcircled{1}+\textcircled{2}\) 消去 \(y\) 得 \(2x+3z=3\)。第二步应该是哪一个？

提示

第二步也要消 \(y\)，而且要用上 ③。

B。两式配成 \(\begin{cases}2x+3z=3\\4x+3z=9\end{cases}\)，相减得 \(2x=6\)，\(x=3\)，\(z=-1\)，再由 ① 得 \(y=0\)。A 消的是 \(x\)、也没用上 ③（翻车现场 ①②）；D 一个方程两个未知数，解不出。

5. 已知 \(x+y=7\)，\(y+z=9\)，\(z+x=10\)，求 \(x\)。

提示

三式相加得到的是 \(x+y+z\) 的几倍？

A。\(2(x+y+z)=26\)，\(x+y+z=13\)，\(x=13-(y+z)=13-9=4\)。B 是忘了除以 \(2\)（\(26-9\)）；C 是 \(x+y+z\)；D 是 \(y\)。

挑战

6. 快餐店有 A、B、C 三种套餐。买 \(1\) 份 A、\(2\) 份 B、\(1\) 份 C 共 \(60\) 元；买 \(2\) 份 A、\(1\) 份 B、\(1\) 份 C 共 \(55\) 元；买 \(1\) 份 A、\(1\) 份 B、\(2\) 份 C 共 \(65\) 元。A 套餐每份多少元？

提示 1：三式相加

相加后 A、B、C 各有 \(4\) 份，可以求出 \(A+B+C\)。

提示 2：再减

第二个式子 \(2A+B+C\) 比 \(A+B+C\) 多一个 A。

A。\(4(A+B+C)=180\)，\(A+B+C=45\)；A \(=55-45=10\)，同理 B \(=15\)、C \(=20\)。检验：\(10+30+20=60\) ✓。

本节真题与练习

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本节是选学，中考不单独要求解三元一次方程组；用到同样消元想法的相关题还在整理。

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