交换乘数，积不变

同一个整齐阵列：横着看、竖着看 · 写出两道乘法算式，积完全一样

给家长 / 老师的话（点此折叠）

这节课学什么：上一节课孩子学会了把“几个几”写成一道乘法算式。本节课借助行列整齐的矩阵图（如 3 行 5 列的星星贴纸），引导孩子先横着看（每行 5 颗，有 3 行，3 个 5 相加 → 5 × 3 = 15），再竖着看（每列 3 颗，有 5 列，5 个 3 相加 → 3 × 5 = 15）。因为贴纸总数没变，所以直观发现：交换两个乘数的位置，积不变。

阶段边界提醒：在二年级只用直观矩阵让孩子感知“交换两个乘数的位置，积不变”，不要出现四年级才学的运算律名称或字母公式。从这节课起，同一幅分组图或解决问题列 a × b 与 b × a 均算正确。

查看本课概念与易错卡

想一想 · 为什么两个人算式不一样，却都对？

桌zhuō子zi上shàng摆bǎi着zhe一yī盘pán整zhěng齐qí的de蓝lán莓méi松sōng饼bǐng。小xiǎo朵duǒ横héng着zhe一yī行háng一yī行háng数shǔ，小xiǎo宇yǔ竖shù着zhe一yī列liè一yī列liè数shǔ，他tā们men写xiě出chū了le两liǎng道dào不bù一yī样yàng的de算suàn式shì：

观guān察chá上shàng面miàn两liǎng幅fú图tú：5 × 3 = 15 和hé 3 × 5 = 15 中zhōng，两liǎng个gè乘chéng数shù 5 和hé 3 调diào换huàn了le位wèi置zhì，它tā们men的de积jī（松sōng饼bǐng总zǒng数shù）变biàn了le吗ma？

解析：不管是横着一行一行数（3 个 5），还是竖着一列一列数（5 个 3），数的都是同一盘松饼，总数都是 15 块！

摆一摆 · 横着圈、竖着圈

切qiē换huàn不bù同tóng的de行háng数shù、列liè数shù和hé圈quān画huà方fāng向xiàng，看kàn看kàn同tóng一yī幅fú点diǎn子zi阵zhèn是shì怎zěn样yàng对duì应yìng两liǎng道dào乘chéng法fǎ算suàn式shì的de！

阵zhèn列liè大dà小xiǎo：

观guān察chá方fāng向xiàng：

横着看（按行） 每行 5 个，有 3 行（3 个 5）→ 5 + 5 + 5 = 15 → 5 × 3 = 15

竖着看（按列） 每列 3 个，有 5 列（5 个 3）→ 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 → 3 × 5 = 15

当前：3 行 5 列 · 5 × 3 = 15 与 3 × 5 = 15，交换两个乘数的位置，积都是 15！

自己试试

1. 在zài上shàng面miàn教jiào具jù里lǐ点diǎn“2 行háng 6 列liè”：横héng看kàn是shì 2 个gè 6（6 × 2），竖shù看kàn是shì 6 个gè 2（2 × 6），它tā们men的de积jī都dōu是shì（）。

解析：2 个 6 相加是 6 + 6 = 12，6 个 2 相加也是 12，所以 6 × 2 = 12、2 × 6 = 12。

2. 再zài点diǎn一yī下xià“3 行háng 3 列liè（方fāng阵zhèn）”，横héng看kàn每měi行háng 3 个gè有yǒu 3 行háng，竖shù看kàn每měi列liè 3 个gè有yǒu 3 列liè，能néng写xiě出chū几jǐ道dào不bù同tóng的de乘chéng法fǎ算suàn式shì？（）

解析：当行数和列数一样（两个乘数都是 3）时，交换位置后还是 3 × 3 = 9，所以只能写出 1 道乘法算式！

说一说 · 一图两式的窍门

同tóng一yī张zhāng点diǎn子zi图tú，横héng着zhe看kàn是shì几jǐ行háng、每měi行háng几jǐ个gè，竖shù着zhe看kàn是shì几jǐ列liè、每měi列liè几jǐ个gè。交jiāo换huàn两liǎng个gè乘chéng数shù的de位wèi置zhì，积jī不bù变biàn！

容róng易yì错cuò：横héng着zhe看kàn和hé竖shù着zhe看kàn的de连lián加jiā算suàn式shì写xiě反fǎn了le 看kàn到dào 2 行háng 5 列liè点diǎn子zi图tú，嘴zuǐ上shàng说shuō“横héng着zhe看kàn每měi行háng 5 个gè，有yǒu 2 行háng”，却què把bǎ连lián加jiā算suàn式shì写xiě成chéng 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10。

正zhèng确què想xiǎng法fǎ：看kàn清qīng“每měi份fèn是shì几jǐ”再zài写xiě连lián加jiā 横héng着zhe看kàn每měi行háng 5 个gè、有yǒu 2 行háng，是shì 2 个gè 5 相xiāng加jiā（5 + 5 = 10）；竖shù着zhe看kàn每měi列liè 2 个gè、有yǒu 5 列liè，才cái是shì 5 个gè 2 相xiāng加jiā（2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10）。

常cháng见jiàn误wù区qū 2：以yǐ为wéi任rèn何hé情qíng况kuàng都dōu能néng写xiě两liǎng道dào不bù同tóng乘chéng法fǎ算suàn式shì 遇yù到dào 4 行háng 4 列liè的de棋qí子zi，硬yìng凑còu出chū两liǎng道dào不bù同tóng的de算suàn式shì。

正zhèng确què想xiǎng法fǎ：两liǎng个gè乘chéng数shù相xiāng同tóng时shí只zhǐ有yǒu一yī道dào算suàn式shì 4 行háng 4 列liè无wú论lùn横héng看kàn还hái是shì竖shù看kàn都dōu是shì 4 个gè 4，两liǎng个gè乘chéng数shù都dōu是shì 4，只zhǐ能néng写xiě出chū一yī道dào乘chéng法fǎ算suàn式shì 4 × 4 = 16。

小xiǎo考kǎo官guān：已yǐ知zhī 4 × 5 = 20，不bù用yòng重chóng新xīn一yī个gè一yī个gè数shǔ，你nǐ能néng立lì刻kè知zhī道dào 5 × 4 等děng于yú多duō少shǎo吗ma？（）

解析：4 × 5 和 5 × 4 只是交换了两个乘数 4 和 5 的位置，积不变，所以 5 × 4 = 20。

练一练 · 分层闯关（6 题）

第一层 · 直接用

1. 填tián空kòng：3 × 6 = 18，交jiāo换huàn两liǎng个gè乘chéng数shù的de位wèi置zhì后hòu，可kě以yǐ写xiě成chéng 6 × □ = 18，方fāng框kuāng里lǐ填tián（）。

解析：交换两个乘数 3 和 6 的位置，积还是 18，所以 6 × 3 = 18，方框里填 3。

2. 贴tiē纸zhǐ本běn上shàng贴tiē着zhe 2 行háng星xīng星xīng，每měi行háng 4 颗kē。下xià面miàn哪nǎ组zǔ算suàn式shì能néng同tóng时shí表biǎo示shì横héng着zhe看kàn和hé竖shù着zhe看kàn？（）

解析：横着看是 2 个 4（4 × 2 = 8），竖着看是 4 个 2（2 × 4 = 8）。

第二层 · 容易错

3. 下xià面miàn三sān组zǔ数shù中zhōng，哪nǎ一yī组zǔ只zhǐ能néng写xiě出chū 1 道dào乘chéng法fǎ算suàn式shì？（）

解析：两个乘数都是 5 时，交换位置仍然是 5 × 5 = 25，只能写出 1 道乘法算式。

4. 把bǎ 5 + 5 + 5 + 5 = 20 和hé 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20 放fàng在zài一yī起qǐ看kàn，下xià面miàn说shuō法fǎ正zhèng确què的de是shì（）。

解析：在 4 行 5 列的点子矩阵中，横看就是 4 个 5 相加，竖看就是 5 个 4 相加，得数都是 20。

第三层 · 想一想

5. 想xiǎng一yi想xiǎng，填tián一yi填tián：4 + 4 + 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 3 × □，方fāng框kuāng里lǐ应yīng该gāi填tián（）。

解析：3 个 4 相加和 4 个 3 相加都等于 12，写成乘法是 3 × 4 = 12，方框里填 4。

6. 小xiǎo猴hóu子zi把bǎ 12 颗kē棋qí子zi摆bǎi成chéng整zhěng齐qí的de几jǐ行háng几jǐ列liè（每měi行háng至zhì少shǎo 2 颗kē，至zhì少shǎo摆bǎi 2 行háng），下xià面miàn哪nǎ种zhǒng摆bǎi法fǎ是shì不bù可kě能néng摆bǎi出chū来lái的de？（）

解析：5 行每行 3 颗需要 3 × 5 = 15 颗棋子，而小猴子只有 12 颗棋子（2 × 6 = 12 或 3 × 4 = 12）。

在家玩 · 转一转鸡蛋盒 / 药板

找zhǎo一yī个gè装zhuāng鸡jī蛋dàn的de格gé子zi盒hé、冰bīng格gé或huò者zhě空kōng药yào板bǎn（比bǐ如rú 2 行háng 6 列liè或huò 3 行háng 4 列liè）：

先xiān横héng着zhe放fàng在zài桌zhuō上shàng，让ràng孩hái子zi一yī行háng一yī行háng指zhǐ着zhe数shǔ：“每měi行háng有yǒu几jǐ个gè？有yǒu几jǐ行háng？是shì几jǐ个gè几jǐ？乘chéng法fǎ算suàn式shì怎zěn么me说shuō？”
把bǎ盒hé子zi顺shùn时shí针zhēn转zhuǎn一yī下xià（竖shù过guò来lái），问wèn孩hái子zi：“现xiàn在zài每měi行háng变biàn成chéng几jǐ个gè？有yǒu几jǐ行háng？格gé子zi总zǒng数shù变biàn了le吗ma？”
让ràng孩hái子zi亲qīn眼yǎn看kàn到dào：盒hé子zi转zhuǎn个gè方fāng向xiàng，就jiù是shì把bǎ两liǎng个gè乘chéng数shù交jiāo换huàn了le位wèi置zhì，总zǒng格gé数shù一yī格gé也yě没méi变biàn！

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