不动点与蛛网图

选择递推与初值

预测长期行为

按当前初值，选择一种结论。改变条件后需重新预测；答案仅在核对后显示。

观察与论证

蓝色：y=f(x)；灰色虚线：y=x；橙色：迭代路径；空心圆：窗口内不动点。窗口固定为 [−4,4]²，图外轨迹裁剪，不把坐标夹成边界值；极点两侧不连线。

为什么这三个模型值得比较

不动点 L 满足 f(L)=L，必须属于定义域。只有当一条合法轨道已知收敛，且 f 在极限处连续、极限属于定义域时，才可由极限方程得到 L=f(L)。解出不动点只是候选，不能证明给定初值一定趋近它。

1 · 仿射：全局公式与震荡

q≠1 时唯一不动点 L=b/(1−q)，且 xₙ=L+qⁿ(x₀−L)。n=0 单独取 x₀（无需约定 0⁰）；q=0 时一步到 b。|q|<1 对全部实初值收敛；0<q<1 的非恒定轨道单调趋近，−1<q<0 则交替趋近。|q|>1 时除不动初值外均有 |xₙ|→∞。q=−1 时不动初值恒定，其余二周期。q=1 时 xₙ=x₀+nb；b=0 全部点不动，否则发散。

2 · 倒数：导数等于 −1 并非吸引

f(x)=c/x 的定义域为 ℝ∖{0}。c>0 有不动点 ±√c，两处 f′(L)=−c/L²=−1；c<0 无实不动点。c≠0 且 x₀≠0 时 x₂ₖ=x₀，x₂ₖ₊₁=c/x₀；除不动初值外都是非恒定二周期。c=0 时虽在每个非零点得到 0，下一次就失去定义。

3 · 分式：导数等于 +1 仍可能收敛

f(x)=x/(1+x)，定义域排除 −1，唯一不动点 0，f′(0)=1。归纳得 xₙ=x₀/(1+nx₀)，但仅在前面的递推都合法时有效。若 x₀=−1/k（正整数 k），第 k 项失去定义；其他实初值均可无限递推且趋于 0（x₀=0 恒定）。这里控件取 x₀=X/20，是否命中极点可用整数整除精确判断。

局部判据的边界

若 f 在 L 的某邻域内连续可微、f(L)=L 且 |f′(L)|<1，则连续性给出一个更小的不变邻域及常数 ρ<1，使 |f(x)−L|≤ρ|x−L|；只有足够近的初值由此保证收敛。它不承诺全部定义域的初值都收敛。例如 f(x)=x² 在 L=0 的导数为 0，x₀=2 却发散。|f′(L)|>1 表示局部排斥，初值恰为 L 仍恒定；|f′(L)|=1 不下统一结论，必须另查高阶项、通项和定义域。

震荡描述交替变化，不等于不收敛：误差交替缩小可以收敛，二周期却不收敛。图上有限步的“靠近”“重复”“冲出窗口”都不是长期结论的证明，本实验结论来自上述解析式。