培玉 · 初中数学← 返回主页九年级上册 · 第三十章 直线与圆的位置关系 · 综合与实践
综合与实践 生活中的优化问题
大自然与现代物流的数学优化密码！从蜜蜂为什么要将蜂房建造成正六边形，到快递集散点物流箱周转与材料最省方案，综合运用二次函数极值、等周定理与正多边形密铺，探究周长一定时面积最大、容积一定时耗材最省的黄金法则。
本节导读 先修：26.4 实际问题与二次函数 · 30.1 直线与圆 · 30.2 内切圆 · 30.3 正多边形与圆 · 本节路线
要用到：二次函数最值（回看 26.4）、正多边形边心距与面积公式（回看 30.3）。
- 从蜂房六边形与快递物流箱切入：为什么工业设计与生物演化都偏爱特定几何形态？
- 探究一：平面密铺的数学条件——拼接处各角之和必须为 \(360^\circ\)（唯正三、正四、正六能单种密铺）；
- 探究二：容纳等大蜜蜂时材料最省模型——内切圆半径相等时，正六边形周长最短、耗蜂蜡最省；
- 探究三：耗材相同时空间最大模型——比较周长相等的三种截面，自己判断活动空间大小；
- 探究四：仓储快递箱的长宽优化——周长固定时矩形底面积的二次函数极值（正方形最优）；
- 动手交互实验：蜂房密铺与周长极值台、进阶等周定理面积逼近台（含重置按钮）；
- 中考真题演练，吃透密铺与生活优化建模。
某仓储物流中心订制一批标准化快递周转箱，为方便在传送带上输送，箱子底面周长严格限定为 \(160\text{ cm}\)。设底面宽为 \(x\text{ cm}\)，长为 \((80 - x)\text{ cm}\)，为了使箱底容纳货物的底面积最大，长和宽应设计为（ ）
C。建立二次函数面积模型：\(S = x(80 - x) = -x^2 + 80x = -(x - 40)^2 + 1600\)。
因为二次项系数 \(-1 \lt 0\)，抛物线开口向下，当 \(x = 40\text{ cm}\) 时，取得最大值 \(1600\text{ cm}^2\)！此时长与宽均为 \(40\text{ cm}\)，底面呈完美正方形。在周长一定时，长方形的长与宽越接近，面积越大；当长宽相等（正方形）时面积达到最高峰。
在现实生活与现代工程中，我们经常遇到这样的决策抉择：如何用最少的钢材制造容量最大的储油罐？ 如何用最少的包装材料打包最多的货物？小小的蜜蜂为什么在亿万年演化中选择了正六边形的蜂巢，而不是正三角形或正方形？ 这背后蕴藏着数学中极其美妙的分支——优化与极值理论。
1. 先认识几个词：优化问题、平面密铺与等周定理
在开展探究前，我们先建立统一的数学语言：
- 优化问题（optimization problem）：在给定资源与边界约束下，寻求某种关键指标（如成本最低、用料最省、容积最大）达到最优值的数学建模过程。
- 平面密铺（tessellation）：用大小、形状完全相同的平面图形彼此无缝隙、无重叠地铺满整个平面的几何排列方式。
- 等周定理（isoperimetric theorem）：在周长固定的所有平面图形中，圆的面积最大；在周长相同的正多边形中，边数越多面积越大。
在一个拼接公共顶点处，各内角之和必须恰好拼满一个周角： \[k \times \alpha = 360^\circ \iff \alpha \text{ 能整除 } 360^\circ\] 在所有正多边形中，只有 3 种能够独立完成密铺：
- 正三角形（内角 \(60^\circ\)，\(360/60 = 6\) 个共点）；
- 正方形（内角 \(90^\circ\)，\(360/90 = 4\) 个共点）；
- 正六边形（内角 \(120^\circ\)，\(360/120 = 3\) 个共点）。
蜜蜂的身体近似为圆柱体。当蜂房刚好容纳一只蜜蜂（内切圆半径均为 \(r = 1\)）时：
- 正三角形周长：\(P = 6\sqrt{3} \approx 10.39\)；
- 正方形周长：\(P = 8\)；
- 正六边形周长：\(P = 4\sqrt{3} \approx 6.93\)。
耗材相同，先把它转成截面周长相同的条件。对每一种正多边形，依次求边长、边心距，再用 \(S=\frac12Pr\) 求面积。
把各自的面积放在一起比较，才能判断空间大小；不要只凭边长或外观下结论。后面的练习请自己完成这一比较。
2. 核心数学模型与推演
通过实际情境加深对生活优化模型的理解：
自己试试 1：如果只用一种正多边形地砖铺满整个地面，下列正多边形中无法铺满的是（ ）
C。正五边形每个内角是 \(108^\circ\)。因为 \(360^\circ\) 不能被 \(108^\circ\) 整除（\(3 \times 108^\circ = 324^\circ \lt 360^\circ, 4 \times 108^\circ = 432^\circ \gt 360^\circ\)），拼接处必然留下空隙或发生重叠，无法单独密铺。
自己试试 2：用长为 20 米的篱笆围成一个长方形养鸡场，围成的最大面积是（ ）平方米
B。周长为 20，长宽之和为 10。设长为 \(x\)，宽为 \(10 - x\)，面积 \(S = x(10 - x) = -(x - 5)^2 + 25\)。当长宽均为 5 米（正方形）时，面积取得最大值 25 平方米。
自己试试 3：自来水输水管道和石油运输管道的横截面几乎全设计成圆形，主要数学原因是（ ）
A。由等周定理，周长一定时，圆的面积最大。这意味着用相同质量的钢材制造管道，圆截面内部横截面积最大，不仅能输送最大流量的流体，而且受力最均匀！
自然奇迹：蜜蜂究竟是如何实现正六边形最优化建筑的？
18世纪法国数学家马拉尔迪测量了蜂巢的底角，发现每个菱形钝角为 \(109^\circ 28'\)，锐角为 \(70^\circ 32'\)。后来著名数学家柯尼希用微积分精确计算出“用料最省、容积最大的几何体”，所得角度竟然与蜜蜂建造的蜂巢一模一样！大自然在千万年生存竞争的物竞天择中，用数学最优解完成了生命的奇迹。
等周不等式深入：为什么越接近圆，面积越大？
数学上著名的等周不等式表明：对于周长为 \(L\)、面积为 \(A\) 的任意平面简单闭曲线，永远满足： \[L^2 \ge 4\pi A \iff A \le \frac{L^2}{4\pi}\] 等号当且仅当图形是圆时成立！正多边形随着边数 \(n\) 的不断增多，形状越来越饱满圆润，面积也从正三角形的 \(0.048 L^2\) 逐步逼近圆的上限 \(0.0796 L^2\)。
现代物流集散中的箱体装载与装箱优化
现代物流运输（如顺丰、京东仓储）的标准化周转箱设计不仅要考虑单箱容积最大化，还要考虑集装箱内多箱堆叠的“密铺率”。正方体或接近 \(1:1:1\) 的长方体既具备单体表面积与容积的最优比，又能在标准集装箱内实现零空隙平铺，大幅降低干线运输物流成本。
中考综合与实践探究题的标准解题步骤
中考压轴综合与实践题通常分为三幕：
1. 阅读与提炼：从冗长生活背景（蜂房、货箱、菜地）中剥离出数学变量（边长、周长、面积）；
2. 设元与建模：设立自变量，列出关于面积或成本的函数解析式（多为二次函数或反比例函数）；
3. 配方与结论：利用顶点公式或不等式求极值，并对照实际物理意义说明“在何种条件下达到最优”。
实验 1蜂房密铺与周长极值动态台
在能够密铺的正三角形、正方形、正六边形中，固定容纳蜜蜂的内切圆半径为 \(r = 1\)，观察三者周长的大小对比条形图，体验正六边形最省蜂蜡材料的几何直觉。
实验 2进阶：等周定理周长恒定面积逼近台
固定图形周长为 \(P = 120\text{ cm}\)，拖动滑块调节正多边形的边数 \(n\)（从 3 边到 12 边乃至圆），观察截面面积随边数增加不断扩张的过程，体会等周定理的极致之美。
练习 1：下列多边形中，不能单独密铺地面的是（ ）
D。正八边形每个内角为 \(135^\circ\)。\(360 / 135 = 2.67\)，不能被整除，故不能单独密铺（但正八边形与小正方形组合可以联合密铺）。
练习 2：若三个能密铺的正多边形（正三角形、正方形、正六边形）的周长均为 12，则面积最大的是（ ）
C。周长为 12 时：正三角形面积为 \(4\sqrt{3} \approx 6.93\)；正方形面积为 9；正六边形面积为 \(6\sqrt{3} \approx 10.39\)。正六边形面积最大。
练习 3：某农户准备用 24 米长的铁丝网靠一面直墙围成一个矩形菜园（直墙的一侧不需要铁丝网）。为了使菜园面积最大，平行于墙的一边长度应为（ ）米
B。设垂直于墙的两边长为 \(x\)，则平行于墙的边长为 \(24 - 2x\)。面积 \(S = x(24 - 2x) = -2x^2 + 24x = -2(x - 6)^2 + 72\)。当 \(x = 6\) 时，面积取得最大值 72 平方米，此时平行于墙的边长为 \(24 - 2(6) = 12\) 米。
练习 4：在周长均为 100 cm 的长方形中，面积最大的图形具有的几何特征是（ ）
A。由二次函数极值结论：周长一定的所有长方形中，正方形的面积最大。
易错总结：靠墙围矩形与四面全围矩形的最优比例区别
• 四面全围矩形：四边都需要材料，当长宽比为 \(1:1\)（正方形）时面积最大；
• 靠一面直墙围矩形：只需围三面（两宽一长），当长宽比为 \(2:1\)（平行于墙的一边长等于垂直于墙的边长的 2 倍）时面积最大！审题时务必看清是否靠墙！
本节中考真题
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