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有趣的密铺
为什么长方形、正六边形的地砖能铺得严丝合缝，而正五边形或圆形的地砖单靠自己却一定会留下空隙？
在蜂巢、厨房瓷砖、人行道地砖中，图形之间既没有重叠、也没有空隙地铺满整个平面的现象，叫做密铺。如果只用同一种形状的瓷砖来铺地，下面哪一种图形不能单独密铺？
对！圆是弯曲的，几个圆挨在一起，中间总会留出三角形一样的曲边缝隙，不能单独密铺。那么多边形能不能密铺，到底由什么决定呢？先检查每个拼接点周围的角，再看图形能否重复铺开！
1. 顶点拼角实验台：能不能凑够一圈 360°？
要在平面上一个顶点周围“既不留空隙、也不重叠”，围在这一点周围的几个内角合起来必须正好是一个周角（360°）。点下面的图形试一试：
正五边形的每个内角都是 108°。为什么只用正五边形不能密铺？
C。108° × 3 = 324°（留出 36° 缺口），108° × 4 = 432°（重叠了），360 ÷ 108 除不尽，所以正五边形不能单独密铺。
2. 任意三角形、任意四边形都能密铺吗？
不光是正三角形和正方形！任意一个四边形（平行四边形、梯形、一般四边形）的内角和都是 360°。将四边形绕一条边的中点旋转 180°，两块拼成一个中心对称的六边形（某些情况退化成四边形），它的对边分别平行且相等；将它沿对边重复平移，就能无缝铺开。拼接处的四个角之和也正好是 360°。
同样，任意一个三角形的内角和是 180°，把两个相同三角形沿一条边拼成平行四边形，再沿两组边的方向不断平移，就能无缝铺开。
创意密铺设计：把正方形或平行四边形的一条边剪下一块，平移到对面那条边上；对于正方形，也可以把靠近顶点的一块绕这个顶点旋转 90° 补到相邻边上（就像荷兰艺术家埃舍尔的飞鸟与游鱼图案），面积不变、凹凸互补，得到的创意图形也能密铺！
正三角形（等边三角形）的每个内角都是 60°。用正三角形密铺时，每个顶点周围有几个正三角形的角拼在一起？
360 ÷ 60 = 6（个）。6 个 60° 角在顶点处正好凑满 360°。
1. 密铺：图形之间既没有空隙、也没有重叠地铺满平面。拼接点周围的角合成 360° 是必要条件，还要看图形能否重复铺开。
2. 两个相同三角形可以拼成平行四边形；两个相同四边形绕边中点旋转后可以拼成中心对称图形，再重复平移铺开。正六边形也能密铺；圆和正五边形不能单独密铺。
两个容易错的地方
直接用
1. 下面关于“密铺”的说法，哪一句是正确的？
B。“无空隙、不重叠”是密铺的两个必备条件。
2. 正六边形的每个内角都是 120°。用正六边形密铺（如蜂巢图案）时，每个顶点周围有几个正六边形拼在一起？
360 ÷ 120 = 3（个）。
3. 用完全相同的任意梯形按上面的方法密铺时，在四个不同角相聚的顶点周围有 4 个角（∠1、∠2、∠3、∠4），这 4 个角拼在一起正好是多少度？
正好是 360 度（既等于梯形的内角和 360°，也正好围满顶点一圈）。
容易错
4. 把 3 个正五边形（每个内角 108°）的顶点拼在一起，3 个角一共是 108° × 3 = 324°。它们之间还会留出一个多少度的空隙？
360 − 324 = 36（度）。正因为留了 36° 的缺口，再放第 4 个又会重叠，所以正五边形不能单独密铺。
5. 下面四组图形中，哪一种不能只用这一种图形单独密铺？
C。正八边形每个内角是 135°，135° × 2 = 270°（还差 90°），135° × 3 = 405°（超出 360°），不能单独密铺。但如果在正八边形留出的 90° 空隙里嵌进一个小正方形，两种图形合起来就能密铺了！
想一想
6. 如图，正方形左上角是 A，左边取一点 B，上边取一点 D，使 AB = AD；在正方形内部取一点 C，使 △ABC 完全位于正方形内，且绕 A 逆时针旋转 90° 后落在正方形外。沿 AC、CB 剪下 △ABC，再绕 A 逆时针旋转 90° 补到上边。关于得到的新图形，下面哪种说法是对的？
A。图形在平移、旋转中面积不变，而且左边凹进去的缺口正好和上面凸出来的尖角一模一样，拼在一起严丝合缝。
7. 用正六边形（每个内角 120°）和正三角形（每个内角 60°）两种瓷砖组合密铺。如果在一个顶点处已经拼了 2 个正六边形的角，还需要放几个正三角形的角才能正好凑满 360°？
2 个正六边形的角是 120° × 2 = 240°，还差 360° − 240° = 120°，120 ÷ 60 = 2（个）正三角形。