四年级下册 · 数学广角（选学） · 鸡兔同笼

鸡兔同笼

拓展·选学：旧版教材内容，新版教材已删。

只知道一共有几个头、几只脚，怎样靠画图和“假设法”算出鸡和兔各有几只？

《孙子算经》里记载了著名的“鸡兔同笼”问题。我们先从简单的小数试起：笼子里有鸡和兔共 8 个头，先假设这 8 只全部是鸡（每只鸡 2 只脚），一共才 16 只脚。如果把其中 1 只鸡换成 1 只兔（每只兔 4 只脚），头的总数不变，脚的总数会发生什么变化？

对！1 只兔比 1 只鸡多 4 − 2 = 2（只）脚。每把 1 只鸡换成 1 只兔，总脚数就增加 2 只！抓住这个“差 2 只脚”的秘密，多大的鸡兔同笼题都能迎刃而解。

1. 画图与列表：把鸡一只一只换成兔

笼子里有鸡和兔共 8 个头、26 只脚。先画 8 只鸡（16 只脚），离 26 只脚还差 10 只脚。点“把 1 只鸡换成兔”，看看换几只正好凑够 26 只脚：

假设法（假设全是鸡）三步曲：
① 先假设全是鸡：8 × 2 = 16（只）脚；
② 算一共少了几只脚：26 − 16 = 10（只）脚；
③ 每换 1 只兔补上 2 只脚，算出兔有几只：10 ÷ (4 − 2) = 5（只）兔，鸡有 8 − 5 = 3（只）。

反过来，如果假设全是兔：8 × 4 = 32（只）脚，比实际多了 32 − 26 = 6（只）脚；每把 1 只兔换成鸡就减少 2 只脚，所以鸡有 6 ÷ (4 − 2) = 3（只），兔有 8 − 3 = 5（只）！

自己试试

现在来解《孙子算经》原题：“今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。”假设 35 只全是鸡，脚有 35 × 2 = 70（只），比 94 只少了 24 只。笼子里兔有几只？

24 ÷ (4 − 2) = 12（只）兔，鸡有 35 − 12 = 23（只）。检验：23 × 2 + 12 × 4 = 46 + 48 = 94（只），完全正确！

2. 生活中的“鸡兔同笼”

生活里很多问题虽然没有鸡和兔，但道理一模一样：

· 三轮车和自行车：1 辆三轮车 3 个轮子（像兔），1 辆自行车 2 个轮子（像鸡），轮子差是 3 − 2 = 1；
· 大船和小船：大船每条坐 6 人，小船每条坐 4 人，人数差是 6 − 4 = 2；
· 抢答计分：答对 1 题得 10 分，答错 1 题倒扣 5 分，把 1 道答对换成答错，相差 10 + 5 = 15（分）！

假设全是鸡，算出的脚比实际少，少的脚数 ÷（4 − 2）= 兔的只数；假设全是兔，算出的脚比实际多，多的脚数 ÷（4 − 2）= 鸡的只数。

两个容易错的地方

✗ 假设全是鸡，却把得数当成鸡假设全是鸡，算出差值除以 2 后，误以为求出来的是鸡的只数。

✓ 假设全是甲，先算出来的是乙假设全是鸡，少算的脚都是因为把兔当成了鸡，所以除以 2 算出来的是兔！

✗ 不管什么题都除以 2做大船坐 6 人、小船坐 4 人的题还顺手除以 2（恰好是 2），遇到大船 8 人、小船 5 人还除以 2 就错了。

✓ 除以“每只（每份）的差”1 只兔和 1 只鸡差 4 − 2 = 2；大船 8 人和小船 5 人差 8 − 5 = 3，要除以 3。

直接用

1. 笼子里有鸡和兔共 10 只，共有 28 只脚。笼子里兔有几只？

假设 10 只全是鸡：10 × 2 = 20（只）脚，少了 28 − 20 = 8（只）脚，兔有 8 ÷ (4 − 2) = 4（只）。

2. 接上一题（鸡和兔共 10 只，共 28 只脚），笼子里鸡有几只？

10 − 4 = 6（只）鸡。（或假设全是兔：10 × 4 = 40，(40 − 28) ÷ 2 = 6 只鸡。）

3. 车棚里停着自行车（2 个轮子）和三轮车（3 个轮子）共 12 辆，数一数一共有 31 个轮子。其中三轮车有几辆？

假设 12 辆全是自行车：12 × 2 = 24（个）轮子，少了 31 − 24 = 7（个）轮子，三轮车有 7 ÷ (3 − 2) = 7（辆）。

容易错

4. 笼子里有鸡和兔共 15 只，共 44 只脚。小芳用假设法先算“15 × 4 = 60，60 − 44 = 16，16 ÷ (4 − 2) = 8（只）”。她算出的“8 只”是谁的只数？

B。记住口诀：“假设全是兔，先求出的是鸡；假设全是鸡，先求出的是兔。”

5. 全班 48 名同学去公园划船，一共租了 9 条船，每条大船坐 6 人，每条小船坐 4 人，正好全部坐满。他们租了几条大船？

假设 9 条全是小船：9 × 4 = 36（人），少了 48 − 36 = 12（人），大船有 12 ÷ (6 − 4) = 6（条）。

想一想

6. 古人还用“抬脚法”解《孙子算经》的 35 头、94 足：让每只鸡抬起 1 只脚，每只兔抬起 2 只脚，笼子里的脚就减少了一半，还剩 94 ÷ 2 = 47（只）着地的脚。这时每只鸡 1 只脚着地、每只兔 2 只脚着地，为什么用“47 − 35 = 12”就能直接得出兔有 12 只？

C。抬脚之后，鸡是“1 头 1 脚”，兔是“1 头 2 脚”。每有 1 只兔，脚数就比头数多 1，所以 47 − 35 = 12 就是兔的只数！

7. 挑战《算法统宗》名题“百僧百馍”：100 个和尚吃 100 个馒头，大和尚 1 人吃 3 个，小和尚 3 人分吃 1 个。其中大和尚有多少人？

分组法最妙：1 个大和尚配 3 个小和尚，正好是 4 个人吃 3 + 1 = 4 个馒头。100 ÷ 4 = 25（组），所以大和尚有 25 人，小和尚有 25 × 3 = 75（人）！