三年级下册 · 数学广角 · 重叠问题

重叠问题

参加跳绳的有 6 人，参加踢毽的有 5 人，合起来却只有 9 人！少了的 2 人去哪儿了？画两个相交的圈（韦恩图），一眼就看明白！

三（1）班参加绘画小组的有 5 人，参加书法小组的有 4 人，其中小宇和朵朵两项都参加了。参加这两个小组的一共有多少人？

对，7 人！小宇和朵朵在两个名单里都出现了，直接算 5 + 4 会把他们俩数 2 次。减去重复算的 2 人：5 + 4 − 2 = 7（人）。

1. 韦恩图（集合圈）：把重叠的人放进中间！

点“分开 / 合拢两圈”，看左右两个圈怎样叠在一起，分清“只参加 A”“两项都参加”“只参加 B”三块区域。

自己试试

跳绳的有 10 人，踢毽的有 7 人，两项都参加的有 3 人。参加这两项比赛的一共有多少人？

10 + 7 − 3 = 14（人）。也可以这样想：只跳绳的有 10 − 3 = 7（人），7 + 3 + 4 = 14（人）。

两张各长 15 厘米的纸条粘在一起，切换中间重叠的长度，看看粘好后的总长是多少厘米。

1. 重叠问题核心公式：总人数 = A 的人数 + B 的人数 − 两项都参加的人数。
2. 反过来求重叠部分：两项都参加的人数 = A 的人数 + B 的人数 − 总人数。
3. 两张纸条粘在一起：粘好后的总长 = 两张纸条原长之和 − 重叠部分的长度。

✗ 把左圈里的数当成“只参加 A 的人数”直接加全如果题目说“参加 A 的有 8 人，其中两项都参加的有 3 人”，只参加 A 的是 8 − 3 = 5（人），不是 8 人。

✓ 看清是“参加 A 的总人数”还是“只参加 A 的人数”左半月（只 A）+ 中间（都参加）+ 右半月（只 B）= 总人数。

✗ 两根木条钉在一起重叠 2 厘米，把 2 厘米减了 2 次重叠处虽然有两层木条，但只叠掉了一个 2 厘米的长度。

✓ 每个接头只减去 1 个重叠长两根木条 1 个接头，总长 = 原长之和 − 1 个重叠长。

1. 趣味数学竞赛有两道思考题，做对第 1 题的有 12 人，做对第 2 题的有 9 人，两道题都做对的有 5 人。至少做对一道题的一共有多少人？

12 + 9 − 5 = 16（人）。

2. 把两张长都是 10 厘米的彩纸条粘成一张长纸条，中间重叠部分长 3 厘米。粘好后的长纸条长多少厘米？

10 + 10 − 3 = 17（厘米）。

3. 喜欢吃苹果的有 15 人，喜欢吃香蕉的有 12 人，两种水果都喜欢吃的有 6 人。那么只喜欢吃苹果（不喜欢吃香蕉）的有多少人？

A。从喜欢吃苹果的 15 人里去掉两种都喜欢的 6 人：15 − 6 = 9（人）。

4. 班里有 20 名同学订杂志，每人至少订一种。其中订《科学画报》的有 14 人，订《故事大王》的有 12 人。两种杂志都订的有多少人？

14 + 12 = 26（人次），比总人数 20 人多出的就是两种都订的人数：26 − 20 = 6（人）。

5. 游泳队里，每人至少会自由泳、蛙泳中的一种。其中只会自由泳的有 8 人，只会蛙泳的有 7 人，两种泳姿都会的有 4 人。游泳队一共有多少人？

每人至少会这两种泳姿中的一种，互不重叠的三部分（只会自由泳、两种都会、只会蛙泳）正好包括全队，直接相加：8 + 7 + 4 = 19（人）。

6. 把一根 20 厘米长的木条和一根 16 厘米长的木条钉成一根长木条，量得长木条长 32 厘米。中间重叠钉在一起的部分长多少厘米？

原长之和：20 + 16 = 36（厘米）。重叠部分长：36 − 32 = 4（厘米）。

7. 三（2）班共有 30 人。会下象棋的有 18 人，会下围棋的有 13 人，两种棋都会下的有 6 人。两种棋都不会下的有多少人？

至少会下一种棋的有：18 + 13 − 6 = 25（人）。两种都不会下的有：30 − 25 = 5（人）。